факториал - translation to English

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается ${\displaystyle n!}$, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа ${\displaystyle n}$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до ${\displaystyle n}$ включительно:

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}$.

Например,

${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$.

Для ${\displaystyle n=0}$ принимается в качестве соглашения, что

${\displaystyle 0!=1}$.

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция ${\displaystyle n^{n}}$ растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например ${\displaystyle e^{e^{n}}}$.